Annuitätendarlehen – Goyellow Themen

Ein Annuitätendarlehen ist ein Darlehen mit konstanten Rückzahlungsbeträgen (Raten). Im Gegensatz zum Tilgungsdarlehen bleibt die Höhe der zu zahlenden Rate über die gesamte Laufzeit gleich (sofern eine Zinsbindungsfrist über die gesamte Laufzeit vereinbart wurde). Die Annuitätenrate oder kurz Annuität setzt sich aus einem Zins – und einem Tilgungsanteil zusammen. Da mit jeder Rate ein Teil der Restschuld getilgt wird, verringert sich der Zinsanteil zugunsten des Tilgungsanteils. Am Ende der Laufzeit ist die Kreditschuld vollständig getilgt.

Der Zinssatz wird bei Abschluss eines Annuitätendarlehens über einen vertraglich vereinbarten Zeitraum festgeschrieben. Dieser Zeitraum kann sich auch über die komplette Kreditlaufzeit erstrecken. Die Tilgung sollte im ersten Jahr mindestens 1 Prozent der Kredit(rest)summe betragen. Sie steigt dann mit fortschreitender Ratenzahl bis auf theoretisch 100 % der Kreditrestsumme im letzten Jahr.

Bestimmung der Annuität

Die Höhe $R$ der (jährlichen) Annuität eines Kredites mit der Kreditsumme $S_0$ bei einem Zinssatz von $i$ (z. B. 3 Prozent $Rightarrow i = 0{,}03$ ) und einer Laufzeit von $n$ Jahren lässt sich mittels

R = S_0 cdot frac{(1+i)^n cdot i}{(1+i)^n-1} = S_0 cdot frac{q^n cdot i}{q^n-1}

berechnen, wobei $q = 1 + i$ gilt. $frac{q^n cdot i }{q^n-1}$ heißt dabei Wiedergewinnungs- , beziehungsweise Annuitätenfaktor ( $WGF^n_{n,i}$ , bzw. $ANF^n_{n,i}$ ) und ist gleich dem Kehrwert des Rentenbarwertfaktors .

Die Annuitätenformel in Worten besagt:

mathrm{Annuitddot at} = text{Kreditsumme} cdot frac{(1 + text{Zinssatz})^text{Laufzeit} cdot text{Zinssatz}}{(1 + text{Zinssatz})^text{Laufzeit}-1}

Beispiel bei einem Zinssatz von 3 % und einer Laufzeit von 5 Jahren:

mathrm{Annuitddot at}= text{Anfangsschuld} cdot frac{1{,}03^5 cdot 0{,}03}{1{,}03^5 - 1}

Bestimmung der Laufzeit

Will man die Laufzeit in Abhängigkeit von $i$ , $S_0$ und $R$ berechnen, so muss man lediglich die obige Formel für die Annuität nach $n$ auflösen. Man erhält hierbei

n = -frac{ln (1 - frac{i cdot S_0}{R})}{ln(q)}.

Findet die Zahlung der Raten mehrmals im Jahr statt, ergibt sich die leicht veränderte Formel

n = frac{ln (1 + frac{i}{t})}{ln(1+frac{i}{m})}

für die Gesamtzahl der Raten (nicht Jahre). Hierbei entspricht $m$ der Anzahl der Raten pro Jahr und $t$ ist dabei die sogenannte Anfangstilgung, die die Minderungsrate des Darlehens nach der ersten Ratenzahlung angibt. Sie ergibt sich aus der Formel

1-t=frac{S_0(1+i)-R}{S_0}

woraus sich

t=frac{R}{S_0}-i

ergibt.

Die Berechnungen gelten für einen angenommenen, über die gesamte Laufzeit gleichbleibenden, Zinssatz. Die tatsächliche Laufzeit kann deshalb in der Praxis unter Umständen erheblich von der vorausberechneten abweichen.

Bestimmung der Tilgungsraten

Bei Analyse eines Tilgungsplans lässt sich erkennen, dass die Tilgungsraten $T_t$ eine geometrische Folge mit dem Zinsfaktor $q$ bilden:

T_t = T_1 cdot q^{t-1}

Somit lassen sich die Tilgungsraten aller Perioden auf die erste Tilgungsrate $T_1$ zurückführen. Diese lässt sich leicht über zwei alternative Möglichkeiten bestimmen:

Bei bekannter Annuität $R$	Bei bekannter Laufzeit $n$
Annuität ist als Summe von Tilgungsrate und Zins definiert, daher gilt für die erste Tilgungsrate: $!,T_1 = R - Z_1,$ wobei $Z_1 = S_0 cdot i$	Die Summe aller Tilgungsraten $T_t$ über die Laufzeit $n$ muss der Kreditsumme $S_0$ entsprechen, also: $S_0 = sum_{t=1}^{n}T_t = sum_{t=1}^{n}T_1 cdot q^{t-1} = T_1 sum_{t=1}^{n}q^{t-1}$ Die Summe lässt sich mit Hilfe der Summenformel für geometrische Reihen in folgenden geschlossenen Ausdruck überführen: $S_0 = T_1 frac{q^n-1}{q-1}$ Nach $T_1$ aufgelöst, ergibt sich schließlich $T_1 = S_0 cdot frac{q-1}{q^n -1}$
Nun kann $T_1$ in der obigen Formel durch den jeweiligen Ausdruck ersetzt werden:
$T_t = (R - S_0 cdot i) q^{t-1}$	$T_t = S_0 cdot frac{q-1}{q^n -1} q^{t-1}$

Weitere Formeln

Die Restschuld $S_t$ nach $t$ Perioden lässt sich berechnen durch

S_t = S_0 cdot frac{q^n - q^t}{q^n-1}.

Wenn statt der Laufzeit $n$ die Annuität $R$ bekannt ist, dann lässt sich die Restschuld $S_t$ nach $t$ Perioden berechnen durch:

S_t = S_0 cdot q^t + R cdot frac{1 - q^t}{i}.

Die Zinszahlung der $t$ -ten Periode ( $Z_t$ ) ergibt sich aus der Restschuld am Ende der vorhergehenden Periode multipliziert mit dem Zinssatz $i$ :

Z_t = S_{t-1} cdot i = S_0 cdot frac{q^n - q^{t-1}}{q^n - 1} cdot i.

Interessant ist auch die Summe der geleisteten Zinszahlungen nach $t$ Perioden:

Z_{cum,t} = sum_{x=1}^{t} Z_x = S_0 left(t frac{q - 1}{q^n - 1}q^n - frac{q^t - 1}{q^n - 1}right).

Daraus ergibt sich die Summe der zu leistenden Zinszahlungen bis zur Tilgung des Annuitätendarlehens ( $n$ Perioden):

Z_{cum,n} = sum_{x=1}^{n} Z_x = S_0 left(n frac{q - 1}{q^n - 1}q^n - 1right).

Die Tilgungsrate in der $t$ -ten Periode ( $T_t$ ) ist gegeben durch die Differenz zwischen Annuität $R$ und Zinszahlung $Z_t$ :

T_t = R - Z_t = S_0 cdot frac{q^{t-1}}{q^n - 1} cdot i.

Bei Annuitätentilgung nimmt die Tilgung exponentiell zu.

Unterjährige Annuitätentilgung

Mit den Formeln der unterjährigen Annuitätentilgung lassen sich auch die Darlehensfälle berechnen, bei denen die Zahlung der Annuität mehrmals jährlich, zum Beispiel monatlich oder vierteljährlich, statt nur einmal am Jahresende stattfindet, was einen Zinsvorteil für den Kreditgeber liefert.

Ist $m$ die Anzahl der Zahlungstermine pro Jahr, werden die $m - 1$ ersten Zahlungen innerhalb des Jahres dabei für gewöhnlich nur als Tilgung betrachtet, enthalten also noch keinen Zinsanteil, der erst der letzten Zahlung zum Jahresende für das gesamte zurückliegende Jahr in Gänze zugeschlagen wird.

Die Höhe der $m$ -mal jährlich zu zahlenden Einzelannuitäten $r$ errechnet sich dabei gemäß den Formeln für die lineare Verzinsung bei unterjährigen Laufzeiten aus der Jahresannuität $R$ , die sich ihrerseits wie bei der jährlichen Annuitätentilgung als Produkt der Kreditsumme und des Annuitätenfaktors ergibt, also eine stets nachschüssige Jahresrente ist.

Ist $i$ der Zinssatz p.a. und $n$ die Gesamtlaufzeit des Darlehens in Jahren, beträgt $r$ damit bei vorschüssiger Ratenzahlung

r = frac{R}{m + frac{i}2 cdot (m + 1)} = S_0 cdot frac{(1+i)^n cdot i}{(1+i)^n-1} / (m + frac{i}2 cdot (m + 1))

Bei nachschüssiger Ratenzahlung hingegen gilt:

r = frac{R}{m + frac{i}2 cdot (m - 1)} = S_0 cdot frac{(1+i)^n cdot i}{(1+i)^n-1} / (m + frac{i}2 cdot (m - 1))

Soll daraus, was für den Vergleich verschiedener Kreditangebote von Interesse sein kann, der vom Kreditgeber zugrundegelegte Zinsfaktor $q$ bestimmt werden, ergibt dieser sich für eine nachschüssige Zahlung der Raten $r$ nach Umstellung der letztgenannten Formel als die maximale der Lösungen nachstehenden Polynoms (das als triviale Lösung auch stets den Wert $q = 1$ besitzt):

(S_0 - r cdot frac{m-1}2) cdot q^{n+1} - (S_0 + r cdot frac{m+1}2) cdot q^n + r cdot frac{m-1}2 cdot q + r cdot frac{m+1}2 = 0

Prozentannuitäten-Tilgung

Eine Sonderform der Annuitäten-Tilgung ist die sogen. Prozentannuität , bei der die Höhe der ersten Tilgungsrate nicht über die Differenz zwischen Annuität und Sollzinsen, sondern – von letzteren unabhängig – als fixer Prozentsatz des Darlehensbetrages definiert wird. ^[1] ^[2]

Anwendungsgebiete

Privatdarlehen von Banken werden oft als Annuitätendarlehen vergeben, da die gleich bleibende Rate eine gute Kalkulationsgrundlage für den Kunden bietet.

Das Annuitätendarlehen ist eine Form der Immobilienfinanzierung . In Deutschland wird der Zinssatz üblicherweise für fünf, zehn oder fünfzehn Jahre festgeschrieben. Danach kann der Vertrag gekündigt werden bzw. ein neuer Zinssatz für die Weiterführung des Vertrages muss verhandelt werden.

Alternativ kann auch ein variabler Zinssatz vereinbart werden, der in regelmäßigen Abständen aktualisiert wird, etwa in Abhängigkeit vom EURIBOR oder einem anderen Index. Eine weitere Option ist es, die Annuitäten durch gleich bleibende Monatsraten zu ersetzen, bei denen jeweils ein Zwölftel des nominalen Jahreszinssatzes zu zahlen ist. Diese Kombination (monatliche Tilgung bei gleich bleibenden Raten, die jedoch jährlich von Zinsänderungen betroffen werden können) ist etwa in Spanien die üblichste Form. Da hierbei der Kunde mehr Risiko trägt, werden weitaus niedrigere Zinssätze verlangt (2005: unter 3 % effektiver Jahreszins ).

Vergleich mit anderen Darlehensarten

Tilgungspläne für die drei gängigsten Darlehensarten: Kapital: 100.000 Euro, Zinssatz: 3,00 % p. a., Laufzeit: 5 Jahre, Zins und Tilgung jährlich nachschüssig

Tilgungsdarlehen
Jahr	Restschuld	Zins	Tilgung	Annuität
1	100.000 €	3.000 €	20.000 €	23.000 €
2	80.000 €	2.400 €	20.000 €	22.400 €
3	60.000 €	1.800 €	20.000 €	21.800 €
4	40.000 €	1.200 €	20.000 €	21.200 €
5	20.000 €	600 €	20.000 €	20.600 €

Summen		9.000 €	100.000 €	109.000 €

Annuitätendarlehen
Jahr	Restschuld	Zins	Tilgung	Annuität
1	100.000 €	3.000 €	18.835 €	21.835,46 €
2	81.165 €	2.435 €	19.401 €	21.835,46 €
3	61.764 €	1.853 €	19.983 €	21.835,46 €
4	41.781 €	1.253 €	20.582 €	21.835,46 €
5	21.199 €	636 €	21.199 €	21.835,46 €

Summen		9.177 €	100.000 €	109.177 €

Fälligkeitsdarlehen
Jahr	Restschuld	Zins	Tilgung	Annuität
1	100.000 €	3.000 €	0 €	3.000 €
2	100.000 €	3.000 €	0 €	3.000 €
3	100.000 €	3.000 €	0 €	3.000 €
4	100.000 €	3.000 €	0 €	3.000 €
5	100.000 €	3.000 €	100.000 €	103.000 €

Summen		15.000 €	100.000 €	115.000 €

Einzelnachweise

Bernd Luderer, Uwe Würker; Einstieg in die Wirtschaftsmathematik; 9. Auflage, Springer-Verlag, 2014; S. 112–113.
Manfred Precht, Karl Voit, Roland Kraft; Mathematik 2 für Nichtmathematiker; Oldenbourg Verlag, 2005, S. 114.

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